\subsection{}

\subsubsection*{Calculons $\vec{T}(t) = \frac{\vec{r'}(t)}{||\vec{r'}(t)||}$}

Nous commençons par calculer la dérivée du vecteur position $\vec{r}(t)$ soit \[\vec{r'}(t) = ((3t^2)', (6t)', (t^3)')\]
\begin{itemize}
    \item \((3t^2)' = 6t\)
    \item \((6t)' = 6\)
    \item \((t^3)' = 3t^2\)
\end{itemize}

\[\boxed{\vec{r'}(t) = (6t, 6, 3t^2)}\]

Nous allons maintenant calculer la norme de la dérivée du vecteur positition $\vec{r}(t)$ soit\\
\begin{math}
    ||\vec{r'}(t)|| = \sqrt{(6t)^2+6^2+(3t^2)^2}\\
    \Leftrightarrow \sqrt{36t^2 + 36 + 9t^4}\\
    \Leftrightarrow \sqrt{9t^4 + 36t^2 + 36}
\end{math}

Nous avons donc:\\
\begin{math}
    \vec{T}(t) = \frac{(6t, 6, 3t^2)}{\sqrt{9t^4 + 36t^2 + 36}}\\
    \Leftrightarrow \frac{(6t, 6, 3t^2)}{\sqrt{(3t^2+6)^2}}\\
    \Leftrightarrow \frac{(6t, 6, 3t^2)}{3t^2+6}\\
\end{math}

Donc, \[\boxed{\vec{T}(t) =\frac{(6t, 6, 3t^2)}{3t^2+6}}\]

\subsubsection*{Calculons $\vec{N}(t) = \frac{\vec{T'}(t)}{||\vec{T'}(t)||}$}
On pose :
\[
\vec{T}(t) = \left( \frac{6t}{3t^2+6},\, \frac{6}{3t^2+6},\, \frac{3t^2}{3t^2+6} \right)
\]
 
On dérive chaque composante avec la règle du quotient :
\[
T_1'(t) = \frac{d}{dt}\left( \frac{6t}{3t^2+6} \right) = \frac{6(3t^2+6) - 6t(6t)}{(3t^2+6)^2} = \frac{-18t^2 + 36}{(3t^2+6)^2}
\]
\[
T_2'(t) = \frac{d}{dt}\left( \frac{6}{3t^2+6} \right) = \frac{-36t}{(3t^2+6)^2}
\]
\[
T_3'(t) = \frac{d}{dt}\left( \frac{3t^2}{3t^2+6} \right) = \frac{36t}{(3t^2+6)^2}
\]
 
Ainsi :
\[
\vec{T}'(t) = \left( \frac{-18t^2 + 36}{(3t^2 + 6)^2},\; \frac{-36t}{(3t^2 + 6)^2},\; \frac{36t}{(3t^2 + 6)^2} \right)
\]

\[
\|\vec{T}'(t)\| = \sqrt{ \left( \frac{-18t^2 + 36}{(3t^2+6)^2} \right)^2 + \left( \frac{-36t}{(3t^2+6)^2} \right)^2 + \left( \frac{36t}{(3t^2+6)^2} \right)^2 }
\]
\[
= \frac{ \sqrt{(-18t^2 + 36)^2 + 2(36t)^2} }{(3t^2 + 6)^2}
\]
\[
= \frac{ \sqrt{324t^4 - 1296t^2 + 1296 + 2592t^2} }{(3t^2 + 6)^2}
= \frac{ \sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296} }{(3t^2 + 6)^2}
\]
  
\[
\vec{N}(t) = \frac{\vec{T}'(t)}{\|\vec{T}'(t)\|} = \left(
\frac{-18t^2 + 36}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}},\;
\frac{-36t}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}},\;
\frac{36t}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}}
\right)
\]


\subsubsection*{Calculons $\vec{B}(t)$}


Nous avons les vecteurs suivants :

\[
\vec{T}(t) =\frac{(6t, 6, 3t^2)}{3t^2+6}
\]

\[
\vec{N}(t) = \frac{\vec{T}'(t)}{\|\vec{T}'(t)\|} = \left(
\frac{-18t^2 + 36}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}},\;
\frac{-36t}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}},\;
\frac{36t}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}}
\right)
\]


On calcule les composantes du produit vectoriel :
 
\[
\vec{B}(t) = 
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{6t}{3t^2 + 6} & \frac{6}{3t^2 + 6} & \frac{3t^2}{3t^2 + 6} \\
\frac{-18t^2 + 36}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}} & \frac{-36t}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}} & \frac{36t}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}}
\end{vmatrix}
\]
 
\textbf{Composante en \( \vec{i} \)} :
\[
\vec{i} \cdot \left( \frac{6}{3t^2 + 6} \cdot \frac{36t}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}} - \frac{3t^2}{3t^2 + 6} \cdot \frac{-36t}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}} \right)
\]
\[
= \vec{i} \cdot \frac{1}{3t^2 + 6} \cdot \frac{36t(6 + t^2)}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}} 
= \vec{i} \cdot \frac{36t(6 + t^2)}{(3t^2 + 6)\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}}
\]
 
\textbf{Composante en \( \vec{j} \)} :
\[
- \vec{j} \cdot \left( \frac{6t}{3t^2 + 6} \cdot \frac{36t}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}} - \frac{3t^2}{3t^2 + 6} \cdot \frac{-18t^2 + 36}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}} \right)
\]
\[
= -\vec{j} \cdot \left( \frac{1}{3t^2 + 6} \cdot \frac{36t^2 + (3t^2)(-18t^2 + 36)}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}} \right)
\]
 
Calculons :
\[
(3t^2)(-18t^2 + 36) = -54t^4 + 108t^2
\quad \text{et} \quad
36t^2 + (-54t^4 + 108t^2) = -54t^4 + 144t^2
\]
 
Donc la composante en \( \vec{j} \) vaut :
\[
- \vec{j} \cdot \frac{-54t^4 + 144t^2}{(3t^2 + 6)\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}}
\]
 
\textbf{Composante en \( \vec{k} \)} :
\[
\vec{k} \cdot \left( \frac{6t}{3t^2 + 6} \cdot \frac{-36t}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}} - \frac{6}{3t^2 + 6} \cdot \frac{-18t^2 + 36}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}} \right)
\]
 
\[
= \vec{k} \cdot \frac{1}{3t^2 + 6} \cdot \frac{-36t^2 + 108 - 6t^2}{\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}} 
= \vec{k} \cdot \frac{-36t^2 + 108 - 6t^2}{(3t^2 + 6)\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}} 
= \vec{k} \cdot \frac{-42t^2 + 108}{(3t^2 + 6)\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}}
\]
 
\subsubsection*{Résultat final}
 
\begin{math}
    \vec{B}(t) =(
    \frac{36t(t^2 + 6)}{(3t^2 + 6)\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}}\\
    \frac{54t^4 - 144t^2}{(3t^2 + 6)\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}}\\
    \frac{-42t^2 + 108}{(3t^2 + 6)\sqrt{324t^4 + 1296t^2 + 1296}})
\end{math}


\subsection{}
Pour calculer la courbure, nous allons utiliser la formule \(k(t) = \frac{||\vec{T'}(t)||}{||\vec{r'}(t)}||\)
\begin{itemize}
    \item \(||\vec{r'}(t)|| = 3t^2 + 6\)
    \item \(\frac{4}{t^2 + 2}\)
\end{itemize}

\begin{math}
    K(t) = \frac{\frac{4}{t^2 + 2}}{3t^2+6}\\
    \Leftrightarrow \frac{4}{t^2 + 2} \frac{1}{3t^2+6}\\
    \Leftrightarrow \frac{4(1)}{(t^2 + 2)(3t^2+6)}\\
    \Leftrightarrow \frac{4}{3(t^2+2)^2}\\
\end{math}

\subsection{}
\subsubsection*{a)}
 
Soit la courbe définie par la fonction vectorielle : 
\[
\vec{r}(t) = \left(3t^2,\ 6t,\ t^3\right)
\]
 
Le point donné est \( P = \left(3,\ 6,\ 1\right) \) et correspond à \( t = 1 \).
On commence par calculer le vecteur tangent au point \( t = 1 \) :
\[
\vec{r}'(t) = \left(6t,\ 6,\ 3t^2\right) \Rightarrow \vec{r}'(1) = (6,\ 6,\ 3)
\]
 
On prend \(\vec{n} = \vec{T}(1) = (6,6,3)\) comme vecteur normal.
 
L'équation du plan passant par \(P = (3,6,1)\) et de vecteur normal \(\vec{n} = (a,b,c)\) s'écrit :
\[
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
\]
 
On remplace :
\[
6(x - 3) + 6(y - 6) + 3(z - 1) = 0
\Rightarrow 6x + 6y + 3z = 57
\]
 
Donc, l'équation du \textbf{plan normal} est :
\[
\boxed{6x + 6y + 3z = 57}
\]


\subsubsection*{b)}
Le plan osculateur est défini par les vecteurs \(\vec{T}(t)\) et \(\vec{N}(t)\). On a :
 
\[
\vec{r}'(1) = (6,\ 6,\ 3), \quad
\vec{r}''(1) = \left(6,\ 0,\ 6\right)
\]
 
On calcule le produit vectoriel :
\[
\vec{B}(1) = \vec{r}'(1) \wedge \vec{r}''(1) = 
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
6 & 6 & 3 \\
6 & 0 & 6 \\
\end{vmatrix}
= (36,\ -18,\ -36)
\]
 
On a donc un vecteur normal \(\vec{n} = \vec{B}(1) = (36,\ -18,\ -36)\) et le point \(P = (3,\ 6,\ 1)\).
 
Équation du plan :
\[
36(x - 3) - 18(y - 6) - 36(z - 1) = 0
\Rightarrow 36x - 18y - 36z = -36
\Rightarrow \boxed{2x - y - 2z = -2}
\]